Исследование свойств случайных величин, планирование многофакторного эксперимента, получение модельных данных и проведение дисперсионного анализа с целью проверки влияния факторов на показатели качества строительной продукции

1.2 Выборка объёмом 50

1.2.1 Проверка нормальности выборки (объемом 50)

Чтобы оценить нормальность выборки объёмом 50 более точным образом, воспользуемся Критерием Пирсона.

Для этого необходима выборка большего объёма, но включающая в себя выборку объёмом 50. Составим выборку У1 объёмом 60:

Таблица 5 - Выборка n=60

№	У1	№	У1	№	У1	№	У1	№	У1	№	У1
1	18,81	12	20,14	23	18,94	34	20,24	45	21,53	56	21,28
2	20,98	13	21,44	24	18,84	35	17,73	46	20,06	57	20,66
3	20,11	14	18,93	25	18,58	36	20,81	47	19,34	58	21,47
4	18,57	15	19,72	26	21,48	37	17,75	48	18,71	59	20,98
5	19,26	16	21,22	27	20,71	38	21,24	49	20,36	60	17,62
6	21,07	17	21,16	28	19,28	39	20,86	50	21,29
7	17,84	18	20,03	29	21,07	40	19,35	51	19,01
8	19,52	19	20,98	30	19,04	41	19,18	52	19,76
9	18,05	20	20,01	31	21,23	42	18,14	53	17,69
10	18,98	21	18,42	32	19,28	43	21,29	54	20,37
11	20,56	22	17,82	33	19,81	44	19,69	55	19,13

1.2.2 Проверка нормальности распределения по критерию Пирсона (ч²)

Для проверки согласия между предполагаемым нормальным и эмпирическим распределением по критерию Пирсона (ч²) рекомендуется следующий порядок:

а) Результаты наблюдений группируются в интервальный вариационный ряд;

б) Определяется длина и количество интервалов;

в) Подсчитывается количества m_i наблюдений, находящихся в каждом из интервалов. Если в какой-либо интервал теоретически попадает меньше пяти наблюдений, то его соединяют с соседним интервалом;

г) Нормируют случайную величину X, т.е. переходят к величине

z = (x-m_x)/у_xи вычисляют концы интервалов (z_i,z_i₊₁) по формулам

z_i =(x_i-m_x)/у_x, (21)

z_i₊₁ = (x_i₊₁-m_x)/у_x. (22)

Причем наименьшее значение z, т.е. z₁, полагают равным -?, а наибольшее, т.е. z₇, полагают равным +?.

д) Для каждого интервала вычисляется теоретическая вероятность попадания случайной величины в i-интервал по формуле

P_i = F(z_i₊₁)-F(z_i), (23)

где F - функция нормального распределения, равная

F(z) = Ф[(z_в-m_x)/у_x] - Ф[(z_н-m_x)/ у_x]. (24)

Здесь Ф - нормированная функция Лапласа;

z_в и z_н - соответственно верхняя и нижняя границы i-го интервала.

е) Определяется мера расхождения по формуле

ч² = У(m_i - nP_i)²/nP_i. (25)

Весь диапазон наблюдений значений x делится на интервалы, т.е. производится разделение ряда экспериментальных данных от наименьшего x_min до наибольшего x_max на 6 интервалов, и подсчитывают количество значений m_i_, приходящихся на каждый i-ый интервал. Это число делят на общее число наблюдений n и находят частоту, соответствующую данному интервалу:

P_i = m_i /n (26)

Сумма частот всех интервалов должна быть равна единице.

Примем число интервалов равное 6.

Длина интервала h вычисляется по формуле:

h = (x_max-x_min)/l (27)

h = (21,53 - 17,62)/6 = 0,7

Найдем границы интервалов:

x₀ = x_min = 17,62,

x₁ = x₀+h = 17,62+0,7= 18,32 ,

x₂ = x₁+h = 18,32+0,7 = 19,02 ,

x₃ = x₂+h = 19,02+0,7 = 19,72 ,

x₄ = x₃ +h = 19,72+0,7 = 20,42 ,

x₅ = x₄ +h = 20,42+0,7 = 21,12 ,

x₆ = x₅ +h = 21,12+0,7 = 21,82 .

z₀=-?,

z₁=(x₁-m_х)/у=-1,0352,

z₂=-0,5423,

z₃=-0,0493,

z₄=0,4437,

z₅=0,9366,

₆=+? .

Найдем наблюдаемое значение критерия (по таблице 6).

Таблица 6

Номер интервала	Границы интервалов	ni	Теоретические границы интервалов	Ф(zi)	Ф(zi+1)	PI =Ф(zi+1)-Ф(zi)	ni = n•Pi	(nI - ni)2/ni
	Хi	Xi+1		Zi	Zi+1
1	17,62	18,32	8	-?	-1,0352	-0,5	-0,3508	0,1492	8,952	0,1012
2	18,32	19,02	10	-1,0352	-0,5423	-0,3508	-0,2054	0,1454	8,724	0,1866
3	19,02	19,72	11	-0,5423	-0,0493	-0,2054	-0,0199	0,1859	11,154	0,0022
4	19,72	20,42	10	-0,0493	0,4437	-0,0199	0,1700	0,1899	11,394	0,1705
5	20,42	21,12	10	0,4437	0,9366	0,1700	0,3264	0,1564	9,384	0,0404
6	21,12	21,82	11	0,9366	+?	0,3264	0,5	0,1736	10,416	0,0327
У			60					1	60	0,5336

ч²_набл= 0,5336

По таблице критических точек распределения ч², по уровню значимости б = 0,05 и числу степеней свободы k=3 находим ч²_кр(0,05;3) = 7,8.

Так как ч²_набл < ч²_кр, то есть основания принять нулевую гипотезу о нормальности закона распределения с уровнем вероятности 0,95.

Таблица 7 - Выборка объемом 50

№	У1	№	У1	№	У1	№	У1	№	У1
1	18,81	12	20,14	23	18,94	34	20,24	45	21,53
2	20,98	13	21,44	24	18,84	35	17,73	46	20,06
3	20,11	14	18,93	25	18,58	36	20,81	47	19,34
4	18,57	15	19,72	26	21,48	37	17,75	48	18,71
5	19,26	16	21,22	27	20,71	38	21,24	49	20,36
6	21,07	17	21,16	28	19,28	39	20,86	50	21,29
7	17,84	18	20,03	29	21,07	40	19,35	51
8	19,52	19	20,98	30	19,04	41	19,18	52
9	18,05	20	20,01	31	21,23	42	18,14	53
10	18,98	21	18,42	32	19,28	43	21,29	54
11	20,56	22	17,82	33	19,81	44	19,69	55

Поскольку выборка объемом 50 сформирована из выборки объемом 60, имеющей нормальное распределение, то и сама выборка объемом 50 имеет нормальное распределение.

Рисунок 2 - Гистограмма распределения для n=50

Содержание