1.1 Кривая Парето

В 1897 г. итальянский экономист Вильфредо Парето (1848 - 1923 гг.), ученик Леона Вальраса и его преемник на кафедре политэкономии Лозаннского университета, установил некоторую закономерность в распределении доходов в капиталистических странах, а также в странах, где преобладали феодальные и раннекапиталистические отношения. Опираясь на эту закономерность, Парето пытался сделать некоторые общие выводы экономического и социологического характера.

На материалах статистики различных стран В. Парето составлял кумулятивные ряды распределения, показывающие, сколько лиц имеет доход не ниже некоторых указанных в рядах величин. Затем он построил графики таких рядов распределения, откладывая на оси абсцисс величины доходов х, а на оси ординат - число лиц, имеющих доход, который равен или больше х.В. Парето обнаружил, что в большинстве исследовавшихся им случаев кривые, отражающие такого рода распределение дохода, похожи одна на другую - они являются гиперболами, уравнение которых может быть выражено формулой:

(1.1)

где - минимальный доход, от которого на графике начинается кривая;

а А, - некоторые положительные параметры.

Такая кривая, называемая кривой Парето, изображена на рисунке 1.1 По уравнению кривой видно, что при , , а при , ; следовательно, кривая Парето имеет две асимптоты: и . Если ось у перенести в точку , соответствующую минимальному из рассматриваемых нами доходов, то и уравнение кривой Парето приобретает вид:

или (1.2)

_А_ х^а

Этой упрощенной разновидностью кривой Парето и пользуются обычно на практике, ибо, как правило, сведений о числе лиц, имеющих небольшие доходы, бывает недостаточно. Данные о доходах в капиталистических странах заимствуются обычно из налоговой статистики, а лица, имеющие небольшие доходы, не платят подоходного налога. Однако если бы мы имели сведения о лицах с минимальными доходами, то кривая (рисунок 1.1) отклонилась бы книзу и в определенной точке пересекла бы прямую . Для низких доходов формула Парето неприменима, так как исследования показали, что они распределены по логнормальному закону.

Рисунок 1.1 - Кривая Парето

Приведем два примера распределения доходов, из которых один основывается на американской, а второй - на английской статистике. В табл.1.1 дается кумулятивный ряд распределения частот доходов в США за 1919 г. и обычный ряд распределения доходов в Англии за 1911-1912 гг., относящийся к лицам с высокими доходами, причем в этой таблице, указаны как фактические данные, так и данные, полученные при помощи формулы Парето. Необходимо обратить внимание, что данные для Англии содержат неравные интервалы доходов, чем объясняется немонотонное изменение числа лиц, попадающих в такие интервалы.

Таблица 1.1 - Распределение доходов в США за 1919 г. и Англии за 1911-1912 гг.

Рассмотрим ближе приведенные примеры распределения доходов. Упрощенное уравнение кривой Парето (1.2) мы можем представить в логарифмах:

. (1.3)

Тогда, графическое изображение такой кривой в двойной логарифмической шкале представляет собой прямую линию с угловым коэффициентом, равным (рисунок 1.2). Уравнение этой кривой, подобранной к данному ряду методом наименьших квадратов, имеет вид , или в нелогарифмической форме .

Рисунок 1.2 - Кривая Парето в двойной логарифмической шкале, по оси абсцисс отложена величина дохода, тыс. долл. США, по оси ординат - число лиц, получающих доход не менее данного

По табл.1.1 видно, что вначале кривая Парето для данных по США не совсем соответствует статистическим данным, ибо фактическое число лиц, доход которых меньше 500 долл., значительно превосходит число, подсчитанное по уравнению кривой Парето. Для более крупных доходов кривая Парето уже значительно лучше согласуется с данным рядом распределения доходов.

Для данных по Англии параметры кривой Парето, также полученной методом наименьших квадратов, приблизительно таковы: , ; уравнение этой кривой в логарифмах имеет вид: .

В. Парето, исследуя данные, характеризующие доходы в разных странах и в разные периоды, установил, что величина параметра кривой распределения доходов колеблется в пределах от 1,2 до 1,9, следовательно, в среднем .

Значение параметра можно считать некоторой мерой неравенства в распределении доходов. Чем оно больше, тем больше вогнутость гиперболы и тем больше разрыв между доходами отдельных групп населения, эту зависимость видно на рисунке 1.3.

Рисунок 1.3 - Влияние параметра на форму кривой Парето. По оси абсцисс отложены размеры доходов населения США тыс. долл. США по данным таблицы 1.1, а по оси ординат - количество лиц, получающих доход не меньше данного, А = 1925,8*10⁶

Рассмотрим подробнее свойства кривой Парето. Как указывалось выше, эта линия в двойной логарифмической шкале принимает вид прямой. Параметр показывает угол наклона этой прямой и эластичность функции распределения доходов:

. (1.4)

Таким образом, если принять для распределения доходов среди населения Украины, а нижний предел дохода 1000 грн., тогда при увеличении этого предела на 10%, т.е. до 1100 грн., число лиц, получающих такой доход или больше уменьшится на 15% относительно первоначально взятого предела в 1000 грн.

Рассмотрим, произведение ху, характеризующее общий доход числа лиц, получающих доход х и более. Логично предположить, что с ростом х эта величина будет убывать. Найдем производную этого выражения по х:

. (1.5)

С учетом вышесказанного можно сделать вывод о том, что для распределения доходов , иначе с ростом х величина общего дохода будет также возрастать, что невозможно.