1.1. Что такое метод анализа иерархий.

Метод анализа иерархий (МАИ) является систематической процедурой для иерархического представления элементов, определяющих суть любой проблемы. Метод состоит в декомпозиции проблемы на все более простые составляющие части введением иерархического структурирования. После задания иерархической структуры, моделирующей исследуемую проблему, возникает задача выявления относительной степени взаимодействия элементов представленных в иерархии. Окончательной целью МАИ является выявление степени влияния элементов низшего уровня, иерархии на элемент высшего уровня - фокус, в котором сформулирована сама проблема.

В МАИ эта задача названа определением глобальных приоритетов элементов низшего уровня иерархии относительно фокуса. Искомый глобальный вектор приоритетов находится в результате синтезирования локальных векторов приоритетов, представляющих вектора влияния элементов данного уровня на элементы уровня непосредственно предшествующего данному уровню. Процедура отыскания локального вектора приоритетов состоит из двух основных этапов. На первом этапе строятся матрицы парных сравнений элементов данного уровня относительно некоторого элемента непосредственно предшествующего уровня. Эта матрица парных сравнений строится на основе суждений экспертов или ЛПР, высказывающих свои мнения о предпочтениях одного элемента над другим данного уровня иерархии относительно элемента непосредственно предшествующего уровня.

Далее эти высказывания экспертов, посредством шкалы сравнений, приведённой в методе переводятся в числовые данные, представляющие собой цифры от 1 до 9. Далее заполняется матрица парных сравнений, с учётом того, что в целях элементарной согласованности она должна быть обратно симметричной. На втором этапе задачи нахождения локального вектора приоритетов для построенной матрицы парных сравнений элементов ищется главный собственный вектор щ, определяемый как решение уравнения:

А·щ = л_max щ .

Этот главный собственный вектор и будет представлять собой вектор локальных приоритетов элементов.

Для того, чтобы найти глобальный приоритет элементов низшего уровня относительно фокуса, необходимо отыскать все локальные приоритеты элементов каждого уровня иерархии относительно каждого элемента непосредственно выше стоящего уровня. После этого глобальный приоритет ищется посредством процедуры синтеза локальных приоритетов. Процедура синтеза локальных приоритетов является интерактивной состоящего из конечного числа шагов, в зависимости от числа уровней иерархии. На каждом шаге этой процедуры отыскиваются вектора приоритетов элементов низшего уровня относительно элементов расположенных строго двумя уровнями выше. Двигаясь последовательно снизу вверх по уровням иерархии, на каждом шаге процедуры синтеза убирается второй снизу уровень иерархии и таким образом глубина иерархии на каждом шаге процедуры уменьшается на единицу. Процедуры синтеза заканчиваются, когда иерархия становится двухуровневой.

Отсюда следует, что для трёхуровневой иерархии процедура синтеза является одношаговой. На каждом шаге процедуры синтеза для отыскания вектора приоритетов низшего уровня относительно произвольного элемента

расположенного двумя уровнями выше W, перемножаются матрицы B и W, где:

b₁₁, b₁₂, …b_1n

b₂₁, b₂₂, …b_2n

B = ………………

b_m1, b_m2, …b_mn

есть матрица, каждый i-ый столбец которой есть вектор приоритетов; m-

элементов низшего уровня относительно i-го элемента непосредственно предыдущего уровня.

Таким образом элемент b_ij матрицы В есть приоритет i-го элемента низшего уровня относительно j-го элемента непосредственно предыдущего уровня. Вектор W есть вектор приоритетов или весов n элементов второго снизу уровня относительно данного элемента третьего снизу уровня.

В результате для отыскания вектора приоритетов W мы имеем равенство:

W= B · W