Задание 1

Для производства трех видов продукции (А, В и С) предприятие использует два вида сырья, удельный расход которого представлен в таблице 1.

Таблица 1

Расход сырья и прибыль от реализации 1 т продукции

Составить математическую модель задачи. С использованием симплексного метода решения задач линейного программирования рассчитать такой суточный объем производства каждого вида продукции, при котором прибыль от его реализации будет максимальной.

Решение

1. Экономико-математическая модель задачи имеет следующий вид:

Переменные:

- объем производства товаров группы А, т

- объем производства товаров группы В, т

- объем производства товаров группы С, т

Целевая функция:

Максимум прибыли от реализации товаров, тыс. д. е.

Ограничения:

1) По использованию сырья 1 на 1 т продукции, т

2) По использованию сырья 2 на 1 т продукции, т

3) Условие неотрицательности переменных

2. Составим первый опорный план (см. таблицу 2)

Перейдем от системы неравенств к системе уравнений путем введения базисных переменных .

Решим систему уравнений относительно базисных переменных:

Функцию цели запишем в виде уравнения

Полагая, что основные переменные , получим первый опорный план, который заносим в симплексную таблицу 2.

Таблица 2

Первый план симплексной таблицы

Первый опорный план, представленный в первой симплексной таблице неоптимальный, т.к. в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты: -28; -32; -18.

Определим ведущие столбец и строку

Из отрицательных коэффициентов индексной строки выбираем наибольший по абсолютной величине, что и определяет ведущий столбец, который показывает, какая переменная на следующей итерации перейдет из свободных в базисные.

За ведущий столбец выберем столбец, соответствующий переменной , т.к. сравнивания по модулю .

Строка симплексной таблицы, соответствующая минимальному значению , является ведущей. Она определяет переменную , которая на следующей итерации выйдет из базиса и станет свободной.

Вычислим значения по строкам, для этого элементы столбца свободных членов симплексной таблицы делим на положительные элементы ведущего столбца.

12800/38 = 336,84 (min); 15200/18 = 844,44 ? строка является ведущей.

Разрешающий элемент находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки и равен 38.

3. Построим второй план (см. таблицу 3)

Переход к новому плану осуществляется в результате пересчета симплексной таблицы методом Жордана-Гаусса. Сначала заменим переменные в базисе, т.е. вместо в базис войдет переменная , соответствующая ведущему столбцу.

Разделим все элементы ведущей строки предыдущей симплексной таблицы на разрешающий элемент и результаты деления занесем в начальную строку следующей симплексной таблицы, т.е. для строки :

12800/38 = 336,84; 18/38 = 0,47; 38/38 = 1; 32/38 = 0,84; 1/38 = 0,03; 0/38 = 0.

Все остальные коэффициенты других строк определяются по формуле: новый элемент = соответствует коэффициент предыдущего плана - (коэффициент ведущего столбца предыдущей таблицы Ч коэффициент начальной строки нового плана).

Для строки :

15200 - 18·336,84 = 9136,88

32 - 18·0,47 = 23,54

18 - 18·1 = 0

28 - 18·0,84 = 12,88

0 - 18·0,03 = -0,54

1 - 18·0 = 1

Для строки :

0 - (-32)·336,84 = 10778,88

-28 - (-32)·0,47 = -12,96

-32 - (-32)·1 = 0

-18 - (-32)·0,84 = 8,88

0 - (-32)·0,03 = 0,96

0 - (-32)·0 = 0

За ведущий столбец выберем столбец, соответствующий переменной (отрицательное значение в индексной строке только одно и равно - 12,96).

Вычислим значения по строкам

336,84/0,47 = 716,68; 9136,88/23,54 = 388,14 (min) ? строка является ведущей.

Разрешающий элемент находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки и равен 23,54.

Таблица 3

Второй план симплексной таблицы

Анализ второго плана:

План не оптимальный, т.к. в индексной строке имеется отрицательный коэффициент (-12,96). Максимальную прибыль в размере 10 778,88 тыс. д.е. предприятие получит от продажи товаров второй группы В в объеме 336,84 т (). Среди базисных переменных находится дополнительная переменная . Это указывает на то, что ресурсы второго вида недоиспользованы на 9136,88т.

4. Построим третий план (см. таблицу 4)

Заменим переменные в базисе, вместо в базис войдет переменная , соответствующая ведущему столбцу.

Разделим все элементы ведущей строки предыдущей симплексной таблицы на разрешающий элемент и результаты деления занесем в начальную строку следующей симплексной таблицы, т.е. для строки :

9136,88/23,54 = 388,14; 23,54/23,54 = 1; 0/23,54 = 0; 12,88/23,54 = 0,55;

-0,54/23,54 = -0,02; 1/23,54 = 0,04.

Определим коэффициенты других строк.

Для строки :

336,84 - 0,47·388,14 = 154,41

0,47- 0,47·1 = 0

1- 0,47·0 = 1

0,84 - 0,47·0,55 = 0,58

0,03 - 0,47·(-0,02) = 0,04

0 - 0,47·(0,04) = -0,02

Для строки :

10778,88 - (-12,96)·388,14 = 15809,17

-12,96- (-12,96)·1 = 0

0- (-12,96)·0 = 0

8,88- (-12,96)·0,55 = 16,01

0,96- (-12,96)·( -0,02) = 0,7

0- (-12,96)·0,04 = 0,52

Таблица 4

Третий план симплексной таблицы

Анализ третьего плана:

Необходимо производить товары первой группы А в объеме 388,14 т и второй группы В - 154,41 т. При этом предприятие получает максимальную прибыль в размере 15 809,17 тыс. д.е. Товары группы С не производятся.

В оптимальном плане среди базисных переменных дополнительные переменные отсутствуют. Это указывает на то, что ресурсы используются полностью.

Ответ: